真子集的符号有几种（数学：证明集合相等）

一 理论部分

（一）集合无法定义，只能描述

集合只是人给出的一种规定，比如我规定一个集合内包含有太阳，有台灯，有猫这3个元素，但它们之间其实并不存在任何共性，但只要我规定它们3个是一个集合，那它们就是一个集合。

交集

当事物被规定到不同的集合之后，在两个集合之间若存在某种对应关系，也就是从这个集合x，到那个集合y，中间有一个函数关系，我们就把这种关系叫做映射。

其中，这个集合x叫做定义域，那个集合y叫做值域，两个集合之间的对应关系叫做从集合x到集合y的映射，表示为f：A→B（f：x|→y）。

（二）集合的相关概念

子集： ∀x∈A，x∈B，则A⊆B；

真子集：∀x∈A，x∈B，∃y∈B，y∉A,则A⊊B；

交集：A∩B = {x|x∈A且x∈B}

并集：A∪B = {x|x∈A或x∈B}

补集：CuA = {x|x∈U，且x∉A}

（三）相等的集合

表示为：A=B，判断方式：证明两个集合互相包含，即｛A⊆B

B⊆A。

并集

（四）韦恩图

由英国哲学家和数学家韦恩在1881年发明，是在所谓的集合论（或者类的理论）数学分支中，在不太严格的意义下用以表示集合（或类）的一种草图。它们用于展示在不同的事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系，尤其适合用来表示集合（或类）之间的“大致关系”，它也常常被用来帮助推导（或理解推导过程）关于集合运算（或类运算）的一些规律。

由于韦恩图形象直观的特点，可以帮助我们解决抽象的集合问题。所以要熟练使用韦恩图必须掌握两项技能：

1.把符号语言转换成图形语言，可使用将区域编号的方法。

2.把图形语言转换成符号语言，在图上表示一个区域只有两类：在集合A中，表示为A；不在集合A中，表示为CuA，即在A的补集中。

我们要注意，随便给一个元素a，它和两个集合A，B之间的关系只有四种：

（1）CuA∩CuB 同时不属于A，B；

（2）A∩CuB 属于A，不属于B；

（3）A∩B 同时属于A，B；

（4）CuA∩B 属于B，不属于A。

二 例题部分

【第一题】设A= {x|x=4k+1，k∈z}， B= {x|x=4n-3，n∈z}.

证明：A=B。

解析：我们发现，对于集合A，k取-1,0,1,2时，x取值分别为-3,1,5,9，而对于集合B，n取0,1,2,3时，x取值也分别为-3,1,5,9。所以两个集合所要表示的其实是同一类数，即被4除后余数是1的数，里面所包含的数都是一样的，两个集合确实是相等的。

解答过程：任取x∈A，则x=4k+1，k∈z。

x=4k+1=4k-3+4=4（k+1）-3

∵k∈z

∴k+1∈z

∴x∈B，即A⊆B。

同理，任取y∈B，则y=4n-3，n∈z。

y=4n-3=4n+1-4=4（n-1）+1

∵n∈z

∴n-1∈z

∴y∈A，即B⊆A。

∴A=B。

补集

【第二题】设A，B是两个集合，证明：A∪（A∩B）=A。

解析：可以直接根据题目运用并集的定义，分成两类情况讨论，且其中一类情况的x∈A已明确，我们只讨论另一类情况x∈A∩B。再运用交集的定义，可知后者结果为x∈A且x∈B，这样两种情况下都存在x∈A，则证明A∪（A∩B）包含于A。

接着，从从右到左就更加显然，任取y∈A，这时等式左边是一个并集，运用并集的定义，可知它们是全部包含在一个集合中的。所以A也包含于A∪（A∩B），则等号两边的两个集合互相包含，是相等的。

解答过程：任取x∈A∪（A∩B），x∈A或x∈A∩B。

当x∈A∩B时，x∈A且x∈B。

∴x∈A，即A∪（A∩B）⊆A。

任取y∈A，y∈A∪（A∩B）

∴A⊆A∪（A∩B）

∴综上，A∪（A∩B）=A。

【第三题】如图，区域7表示什么集合？

解析：元素7不在集合A中，但同时在集合B，C中，所以答案表示为CuA∩B∩C。